【数学】必要条件と十分条件の考え方を徹底的に書いてやる

【数学】必要条件と十分条件の考え方を徹底的に書いてやる

はじめに

コジマです。

数学をやっていると、必要条件と十分条件がどっちがどっちか分からなくなるよ。
って人向けの記事です。

こういう風に考えるといいよって話をできたらと思います。

定義

2つの条件\(P, Q\)について、命題 \(P \Rightarrow Q\) が真であるとき
\(PはQであるための\)十分条件
\(QはPであるための\)必要条件
という。

この時点で理解を諦めた人は語呂合わせしましょう。「必要条件と十分条件は重要(じゅうよう)」と。

包含関係を押さえよう

\(P \Rightarrow Q\)が成り立つということは、PがQに含まれることになります。
図で書くと以下のようになります。

「必要」と「十分」の言葉の意味を少し掘り下げよう

「必要」の意味

[名・形動]なくてはならないこと。どうしてもしなければならないこと。また、そのさま。「それほど急ぐ必要はない」「必要に迫られて買う」「生活に必要な(の)品々」


goo 辞書
より引用

「十分」の意味

[名](スル)(十分)10に等分すること。「―の一」「利益を―して配る」
[形動]満ち足りて不足のないさま。充実して完全であるさま。「―な休養」「―に整う」
[副]
1 思い残すところのないさま。思うまま。「―楽しむ」「―注意する」

2 必要なだけ、またはそれ以上あるさま。「まだ―使える」「隣町まで5キロは―ある」


goo 辞書
より引用

要点を抽出すると
「必要」とは、なくてはならないこと
「十分」とは、足りていること
ですね。

さらに言ってしまうと
「必要」とは、もはや自分の一部であり欠かせないこと
「十分」とは、持て余してること
とも言えます。
この感覚が以降の説明でとても大事になってきます。

具体例から学ぶ

具体例をいくつか出してみるので、感覚を掴んでみましょう。
具体例を見るにあたり、以下の手順を踏みます。

  1. \(条件P、条件Q\)を決める
  2. 命題 \(P \Rightarrow Q\) が真であるか確かめる
  3. 必要条件と十分条件を確かめる

命題が真であることを確かめることを忘れがちです。
これからは意識しましょう。

例1:猫ならば動物である。

P:猫である
Q:動物である
としましょう。
\(P \Rightarrow Q\) すなわち、「猫ならば動物である」を考えたとき、
猫は動物なのでこの命題は成り立ちます。

猫にとって動物という条件は持て余してしまいます。哺乳類でもいいのにね。持て余しているので、猫は動物であるための十分条件と分かります。
動物であることにとって、猫は動物の一部であるため、いなくなられると困ります。このことから、動物は猫であるための必要条件と分かります。

例2:\(x = 2 ならばx^2 = 4である\)

P: \(x = 2\)
Q: \(x^2 = 4\)
としましょう。
\(P \Rightarrow Q\) すなわち、「\(x = 2 ならばx^2 = 4である\)」を考えたとき、
この命題は成り立ちます。

\(x = 2\)にとって、\(x^2 = 4\)は持て余してしまいます。\(x = -2\)でも成り立つもんね。このことから\(x = 2\)は\(x^2 = 4\)であるための十分条件と分かります。
\(x^2 = 4\)を解くと\(x = \pm{2}\)となり、\(x = 2\)は\(x^2 = 4\)の解の一部です。いなくなられると困ります。このことから\(x^2 = 4\)は\(x = 2\)であるための必要条件と分かります。

さいごに

必要条件と十分条件について理解を深めることはできましたでしょうか?

まとめ

  • 語呂合わせ「重要(じゅうよう)」で覚えよう
  • 包含関係は押さえておこう
  • 十分条件は持て余してるもの
  • 必要条件はいなくなられると困るもの

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以上、コジマでした。


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