【数学】PならばQの真理値表って直感的に分かりづらくない?【小話】

【数学】PならばQの真理値表って直感的に分かりづらくない?【小話】

はじめに

コジマです。

数学の小話を1つ。
命題P、Qの真理値表で主なものは

  • Pでない(¬P)
  • PかつQ(P∩Q)
  • PまたはQ(P∪Q)
  • PならばQ(P⇒Q)

かなぁ、と思います。

真理値表を書いてみると以下のようになります。

P Q ¬P P∩Q P∪Q P⇒Q
T T F T T T
T F F F F
F T T F F T
F F F F T

「Pでない」は否定なので、Pが真なら¬Pは偽になるしという感じで真偽がひっくり返るイメージができます。

「PかつQ」は「かつ」なので、PもQも真のときに真になるイメージができます。

「PまたはQ」は「または」なので、PかQのどちからが真のときに真になるイメージができます。

では、「PならばQ」はどうだろう…?
文字通りの意味から真偽値のイメージがしづらいな、と私は感じています。

この記事は
PならばQの真理値が覚えられないよ~~って人向けです。

PならばQの真偽値の覚え方について書いていこうと思います。

PならばQの考え方

PならばQの真偽値が覚えられない場合、唱える呪文があります。(私が勝手に作った)

前提正しいなら結論も正しく、
前提間違ってんなら結論なんだっていいじゃん

唱えましたか?
さて、Pを前提、Qを結論と考えます。

そして、考え方として重要なことは、「約束を破ったか」ということです。
約束を破った時にPならばQは偽となります。

例を挙げます。
命題Pを「天気が晴れ」
命題Qを「出社する」
とします。

PならばQは真偽値に応じて以下のように書くことができます。

  • Pが真、Qも真:天気が晴れならば出社する
  • Pが真、Qが偽:天気が晴れならば出社しない
  • Pが偽、Qが真:天気が雨ならば出社する
  • Pが偽、Qも偽:天気が雨ならば出社しない

「約束」というのは、PもQも真の状態だと考えてください。

「晴れた時に出社する」という「約束」の元、
晴れた時に出社したら約束は守られたことになります。(PならばQが
晴れた時に出社しなかったら約束を破ったことになります。(PならばQが
雨が降った時は出社してもしなくても約束は破ったことにはなりません。(PならばQが

となります。

さいごに

「Pが間違っててQも間違ってんだからPならばQも間違ってんじゃね?」
と思っちゃう人がいるのではないかと思ってこのような記事を書くことにしました。

再掲ですが、これを唱えておきましょう。

前提正しいなら結論も正しく、
前提間違ってんなら結論なんだっていいじゃん

基本情報ではあまり出ないかな?排他的論理和とかの方が出そう。
ただ覚えて損はありません。

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以上、コジマでした。


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