【数学】クラスに同じ誕生日の人がいる確率は?【小話】

【数学】クラスに同じ誕生日の人がいる確率は?【小話】

はじめに

コジマです。

ちょっとした数学の小話をしようと思います。

学校で同じ誕生日の人や近い誕生日の人がいるとちょっとテンション上がったりしますよね。
実際クラスに同じ誕生日の人がいる確率ってどのくらいなのでしょうか?

いくつか仮定した上で求めてみたいと思います。

仮定

  • 1年は365日とする(閏年は無視)
  • 各々の誕生日の確率は同様に確からしいとする
  • 1クラス40人とする

このように考えてみます。

求める前に

2人の場合

まず、2人の時を考えてみます。

1人はどの誕生日でもいいですね。
もう1人はその人と同じ誕生日である必要があります。

したがって求める確率は\(\frac{1}{365} ≒ 0.274 \)%であるとわかります。

(小数点第4位を四捨五入して丸めてます)

3人の場合

次に、3人の時を考えてみます。
同じ誕生日の人がいるパターンが増えます。
私の他にAさん、Bさんがいるとします。

私と同じ誕生日の人がいるパターンは

  1. Aさんが同じ誕生日
  2. Bさんが同じ誕生日
  3. AさんもBさんも同じ誕生日

とあり、これらを足し合わせる必要があります。

上2つは先ほどと同じく\(\frac{1}{365}\)です。
私とAさんとBさんが同じ誕生日の場合はさらに\(\frac{1}{365}\)をかけてあげて
\(\frac{1}{365} * \frac{1}{365}\)となります。

すべて足し合わせると

\(\frac{1}{365} + \frac{1}{365} + \frac{1}{365} * \frac{1}{365} = \frac{731}{133225} ≒ 0.549 \)%

となります。すこーし確率が上がりました。

求めてみる

実際に1クラス40人の中で同じ誕生日の人がいる確率を求めてみます。
しかし、Aさんと同じ誕生日、Bさんと同じ誕生日、AさんもBさんもCさんも同じ誕生日。。。
と考えているのは寿命の無駄遣いです。

余事象の説明

ここで余事象を考えます。
余事象はそれ以外全部ってことです。

例えば、
じゃんけんで「勝つ」という事象の余事象は「勝つ以外全部」、すなわち「あいこ」と「負け」です。
サイコロで「偶数が出る」という事象の余事象は「偶数以外全部」、すなわち「奇数」です。

事象と余事象の関係で

事象の起こる確率 + 余事象の起こる確率 = 1

というのがあります。

これを移項すると

事象の起こる確率 = 1 – 余事象の起こる確率

となります。
今回この考えを使います。

何が便利かというと、
事象より余事象を考える方が楽な場合は
事象をゴリゴリ考えるより、余事象の確率求めて1から引いた方が楽
ってことなんです。
高校数学の大事なところなんだけど、テクニックとしてだけ覚えてる人が多い印象。

当てはめる

今回どうなるかというと、
「同じ誕生日の人がいる」事象の余事象を考えます。

この余事象は、「同じ誕生日の人がいる以外全部」の事象です。
これはすなわち「同じ誕生日の人が誰もいない」事象のことです。

余事象のおかげで場合分けで命すり減らさずに済みました。
同じ誕生日にならない確率は誕生日が被らなければいいので、
365個の誕生日から40個選ぶ組み合わせに等しいです。
また、全ての場合の数は365^40になります。

すなわち、

\(\frac{{}_{365} C_{40}}{365^{40}}\)

が今回求めたい余事象の確率になります。

実際に求めたい事象のか確率は

1 – 余事象の起こる確率

で計算できるので、

\(1 – \frac{{}_{365} C_{40}}{365^{40}} = 1 – \frac{365}{365}×\frac{364}{365}×\frac{363}{365}×\cdots×\frac{326}{365}\)

さすがにプログラムでw

結果は89.1231809817949となりました。

40人クラスだと同じ誕生日の人がいる確率は約89%にもなるんですね。

さいごに

とても有名な話ではありますが、お付き合いいただきありがとうございます。

今読んでいる本で、365までの目が出る電子サイコロという体で実質同じ問題を見かけて
懐かしくなって書いてみました。

ただ話をするだけでなく、回答に至るプロセスを意識してみました。

Pythonで計算するときに桁落ちして確率100%になりまくって
変なとこで時間使ってしまいました。

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以上、コジマでした。


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