はじめに
コジマです。
大学の過去問漁っていたらいい感じの問題があったのでやってみました。
問題
$$f(x) = 1+\sin{x}-x\cos{x} のとき \\
\int_{0}^{2\pi}|f(x)|dx を求めよ。$$
\int_{0}^{2\pi}|f(x)|dx を求めよ。$$
原文は載せちゃうと著作権的によくないので、誘導省いた改題としています。
誘導なくても頑張ればいける感じなのでやっていきたいと思います。
背景
絶対値付きの積分ですが、そんなに難しく考える必要はなさそうです。
要するに面積を求めてくれというだけの話です。
\(f(x)<0\)になる定義域では符号を反転させることに注意します。
要するに面積を求めてくれというだけの話です。
\(f(x)<0\)になる定義域では符号を反転させることに注意します。
方針
以下の方針で解きたいと思います。
- グラフの概形を求める(微分)
-
f(x)=0になるxを求める
- ゴリゴリ積分する
ちなみに、
- f(x)の最大最小を求める
- f(x)の不定積分を求める
という誘導が元の問題ではついてきます。
解答
グラフの概形を求める
増減表とグラフの概形は以下のようになります。
合成関数の微分と三角関数の微分の知識が必要になってきます。
f(x)=xになるx
これについては方程式をしっかり解こうとするとハマってしまいます。(自分が少しハマってしまいました。)
結論から言うと、\(x=\frac{3}{2}π\)で\(f(x)=0\)になります。
ひらめきのヒントとしては、\(1とx\)が邪魔だから、\(\sin{x}=-1かつx\cos{x}=0\)になりそうな\(x\)を探そう。
という意識があると自然と\(x=\frac{3}{2}π\)を探してこれます。
という意識があると自然と\(x=\frac{3}{2}π\)を探してこれます。
ゴリゴリ積分する
ここまでの準備を経て、この問題は下のグラフのS1とS2の和を求めれば良い。
と言うことがわかりました。
これを踏まえて、一旦式を整理します。
同じような計算をすることになるので、一旦\(F(x)\)を個別に求めます。
ガチで不定積分を求めようとしたら積分定数もきちんと書いてあげる必要があるけど、
ここでは定積分の結果を求めるために使いたいだけなので無視してます。
(積分定数はどうせ定積分すると消えるしね☆)
この結果を途中まで計算してた式に代入して整理すれば答えです！
お疲れ様でした！
さいごに
難易度はそこまで高くないけど、微分と積分の知識を幅広くしっかり身につけていることが試される問題でした。
計算量はそこそこ多いのでケアレスミスにも注意…。
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以上、コジマでした。
