はじめに
コジマです。
微分をやっていきたいと思います。
高校の数学で公式として暗記してしまっている人も多いと思いますが、
今回はlogxを微分すると1/xになることを微分の定義を使って証明していきます。
微分とは
微分というのは
めちゃめちゃ小さい幅の傾きを求めること
です。
正確な表現ではないけど、イメージとしてはこう思っておけば大丈夫です。
イメージ図と定義を以下に示しておきます。
hというめっっっちゃちっちゃい幅をとって、その幅を限りなく0に近づけます。
求めていく
logxのxは真数って言うんですけど、真数は正の実数を取るお決まりが
あるのでx>0という前提条件があります。
証明は微分の定義を使って求められますが、
ちょこちょこ小技が入ります。
以下のような証明になります。
limを何回も書くのがめんどくさいので矢印で飛ばす書き方で書いてます。
ポイント
①ログの差は右辺のように分数表記できます。
②ログの定数倍は真数の累乗に等しくなります。
①、②は対数に関する基本的で重要な公式です。
大人が使う機会はまずないですけどねw
③はみんな大好きネイピア数の定義です。
これを証明できるかはネイピア数の定義の形を作り出せるかどうかになります。
さいごに
時々懐かしいこともしたくなります。
「数学」は「数楽」。楽しいのでね。
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以上、コジマでした。
