はじめに
コジマです。
エンジニアが使いそうな数学の知識って何あるかなー
微積かなーとか思って数学のチャート開いてたらサイクロイドの問題があって懐かしいなーって思ったんで今回はサイクロイドを使うことにしました。
数学系の記事は息抜きにでも読んでくれたら嬉しいです。
サイクロイドとはなんだ
円をコロコロ転がしたときに最初に地面に触れてた点が描く軌跡です。
参考リンク貼ります。gifがあるのでイメージ掴みやすいです。
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/cycloid/
公式はこう書けます。(参考リンクはθですが、読み替えてください。)
こんなサイクロイドと積分が絡んだこんな問題を解いてみたいと思います。
今回扱う問題
受験問題だとこれがサイクロイドと知らされず出てきたりするものですが、
いい年こいた社会人なのでネタバレをした上で解くことにします。
この問題は
x軸とサイクロイドが描く軌跡に囲まれた面積を求めてくれ
と言っているのと同義になります。
方針
方針としては
- 図示してみる
- 計算する
となります。
- 微分(極大・極小を求める)
- 媒介変数のグラフ(定義域に注意する)
- 三角関数の積分(面白いけど受験だと暗記ゲーになりがち)
こう書くと割と色々な要素が詰まっていて面白いです。
解いてみる
まずはこの式を観察してみます。
ここでg(t)は最大と書きましたが、正確には最大かつ極大になりそうです。(実際なります)
また、三角関数の性質からcosの関数はt=πを軸に対象になりそうです。(実際なります)
実際にxとyについてtで微分して増減表を書きます。
グラフも描いてみました。下手でごめんね。
本当はもっとこんもりしますw
ここまできたら一気に計算します。
これで終了です。
めっちゃきれいになりました。
ちなみに定数倍は移項しておくとカッコ減らせるから自分は好んで使います。
さいごに
ちょっとだけ余談
倍角、半角公式と言っても加法定理から計算して簡単に求まるので
わざわざ暗記する必要もないです。倍角、半角公式について大事なことは
三角関数の次数を落とせること！
そんで積分が絡んでくると
三角関数の次数を落とすことで三角関数の積分が簡単になる！
ということ。
数学やってると常々感じますが、
武器を持っていても武器の使い方と武器の使い時がわからないと宝の持ち腐れになってしまうなと思います。
エンジニアとしても学んだ技術の使い方と使い時を見計らって
きちんと使いこなせるようになっていきたいですね。
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以上、コジマでした。
