はじめに
コジマです。
こんな記事を発見しまして(いつか見れなくなっちゃうかもだけど)
高校の数学に「行列」復活も、国が本腰入れるAI人材教育の詳細が判明
行列って高校数学の範囲から外されてたんだ、とジェネレーションギャップを感じつつ、
AI人材を年間25万人育成したいらしいので少し行列に触れていくことにします。
今回は2次の逆行列を公式で暗記するだけでなく、導けるようになろう。
というのが目的です。
逆行列の定義
逆行列の定義は以下のように表せます。
つまりは、掛け算したら単位行列になるような行列を逆行列といいます。
A^(-1)は「エーインバース」と読んであげてください。
正方行列、単位行列がわからない人のために少し補足をしておきます。
単位行列は実数の世界でいうところの1
逆行列は実数の世界でいうところの1/a
のようなものです。
実数aに逆数1/aをかけると1になる。
行列Aに逆行列A^(-1)をかけるとEになる。
と対応づけてイメージしておくといいでしょう。
しっかりこれらの関係が対応づけられるか知りたい人は群論を勉強するといいです。
2次の行列の集合Aは乗法について集合と演算の組(A,・)を群という。
単位行列Eは集合Aの単位元。
逆行列A^(-1)は集合Aの逆元。
なんて言い方をします。
2次の逆行列
定義
定義は以下の通り
ad-bc=0となる時は逆行列が存在しません。
また、ad-bcを行列式といい、それが0か否かで逆行列の存在有無の判定ができます。
逆行列を持つ行列を正則行列、逆行列を持たない行列を特異行列といいます。
これが成り立つことを証明したいと思います。
証明
今回の方針はゴリゴリ解く！
複雑に見える形だけど力技で証明できるので見ていきましょう。
行列式が0でない前提なので割って平気です。
この前提を無視するとZeroDivisionErrorです。
計算の順序が逆でも同様のA^(-1)を導けることも示していきます。
計算過程はほぼ同じなので省略しながらやります。
複雑に見えますが、途中から連立方程式に落ち着きます。
さいごに
逆行列を求めるためには掃き出し法という技もあるんですけど、
今回は2次の逆行列を求めるというテーマでやりましたので
覚えることは多くなりすぎない方が良いと思い、ゴリゴリ連立方程式を解くことにしました。
Python勉強してもしょっぱなnumpy出てくるし、行列の知識は嫌でも必要になってきますね。
数学の知識もエンジニアに活きてくるようになったらとても嬉しいです。(個人的感想)
今回はブックオフで200円で買った青チャートを参考にしました。
(※リンク先で行列が載ってない可能性あります)
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以上、コジマでした。
